4.12 - Adimensionais Típicos das Bombas Hidráulicas

Antes de propor os exercícios, vamos nos deter em uma aplicação bastante importante da análise dimensional para o estudo da mecânica dos fluidos, que é a sua aplicação às máquinas hidráulicas em particular às bombas hidráulicas.

Esta aplicação é comumente usada pelos fabricantes das bombas pelos seguintes motivos:

(1º) - minimizar os custos e otimizar o tempo para ensaios;

(2º) - obter características hidráulicas das bombas, cujas dimensões excedam as permitidas pelas suas bancadas de testes.

As figuras 4.4 a e 4.4 b procuram dar exemplos de bombas reais e bombas em modelo reduzido.

Figura 4.4 a

Figura 4.4 b

A função característica do fenômeno pode ser representada pelas seguintes variáveis:

Nm – potência da máquina hidráulica, no caso NB potência da bomba;

Dr – diâmetro do rotor; n – rotação da bomba;

Q – vazão de escoamento do fluido que atravessa a bomba;

g HB – variação de pressão estática entre a entrada e saída do fluido, considerando o diâmetro da entrada igual ao diâmetro da saída;

ρ - massa específica do fluido que atravessa a bomba;

µ - viscosidade dinâmica do fluido que atravessa a bomba;

E – elasticidade.

Portanto: f (NB, Dr, n, Q, g HB, ρ, µ, E) = 0.

A partir da função característica conhecida, podemos aplicar o teorema dos π:

(1º) - número de variáveis que causam influência no fenômeno - n=8

(2º) - Equação dimensional de cada uma das

[NB] = F x L x T^-1

[Dr] = L

[n] = T^-1

[Q] = L³ x T^-1

[g HB] = F x L^-2

[ρ] = F x L^-4 x T²

[µ] = F x L^-2 x T

[E] = F x L^-2

(3º) - k - número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - k=3

(4º)- m- número de números adimensionais - m = n - k \ m = 5

W ® função equivalente do fenômeno formada só por número adimensionais.

W (π₁,π₂,π₃,π₄,π₅) = 0

(5º) - base dos adimensionais - ρ n Dr.

(6º) - números adimensionais -

π₁ = ρ^x1 . n^x2 . Dr^x3 . γ HB (I)

π₂ = ρ^y1 . n^y2 . Dr^y3 .Q (II)

π₃ = ρ^z1 . n^z2 . Dr^z3 . NB (III)

π₄ = ρ^a1 . n^a2 . Dr^a3 . µ (IV)

π₅ = ρ^θ1 . n^θ2 . Dr^θ3 . E (V)

Para obtermos os expoentes dos números adimensionais, procedemos como é mostrado abaixo:

(I) F⁰ L⁰ T⁰ = (F x L^-4 x T²)^x1 . (T^-1) ^x2 . (L)^x3 . F x L^-2

   F⁰ L⁰ T⁰ = F ^x1+1 . L^{-4 x1 + x3 - 2} . T^{2 x1 - x2}

  x₁+1 = 0 \ x₁ = -1

  2x₁ - x₂ = 0 \ -2 - x₂ = 0 \ x₂ = -2

  -4 x1 + x3 - 2 = 0 \ 4 + x3 - 2 = 0 \ x3 = -2 \ π₁ = ρ^-1 . n^-2 . Dr^-2 . g H_B

  ou ® denominado de coeficiente manométrico.

Analogamente, obtemos:

® denominado de coeficiente de vazão;

® denominado de coeficiente de potência;

® que é um adimensional proporcional ao número de Reynolds;

® denominado de número de Cauchy.

Os números adimensionais mencionados anteriormente poderiam representar as seguintes funções equivalentes:

Por outro lado, devemos lembrar que existe uma relação entre N_B, H_B e Q, já que:

e que o número de Cauchy só deve ser levado em consideração para escoamentos compressíveis; portanto considerando escoamentos incompressíveis, temos:

Onde o efeito do número de Reynolds deve ser considerado sempre que: 

Além disto, podemos recorrer a expressão estabelecida por Moody, onde temos que:

Na prática da engenharia aparece um outro parâmetro de real importância para o estudo de semelhanças de máquinas hidráulica, que é denominado de rotação específica (n_S), que é a rotação da máquina hidráulica quando a mesma apresenta uma carga manométrica unitária e vazão unitária.

Define-se numericamente a rotação específica (n_S) da seguinte forma:

onde Q e HB, e n são consideradas respectivamente em m³/s, m e rpm e lidas no ponto de projeto, aquele onde se tem o h_máxB

Conclusão - Para escoamentos incompressíveis, onde desejamos colher informações para um protótipo (bomba) através de um modelo (bomba), geralmente reduzido, segundo as normas do Hydraulic Institute Standards, devemos ter:

1º - semelhança hidráulica, o que equivale a dizer que a rotação específica, tanto do protótipo, como do modelo, é igual;

2º - semelhança hidrodinâmica, o que equivale a dizer que as dimensões relevantes, como o ângulo da pá, área da garganta, etc. ...devem respeitar a escala geométrica:

A partir destas condições o estudo de semelhança é feito através dos seguintes números adimensionais:

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