4.7 Modelo - m

É o fenômeno ensaiado em laboratório, que geralmente é a representação do fenômeno em escala não natural.

4.8 Protótipo - p

É o fenômeno do qual desejamos obter as informações sem recorrer a ensaios, geralmente representa o fenômeno na escala real.

Para viabilizar o mencionado anteriormente, devemos ter, tanto o modelo como o protótipo, definidos pela mesma função característica, o que equivale a dizer que ambos serão caracterizados pelos mesmos números adimensionais, sendo este fato denominado de condição de semelhança.

4.9 Teorema dos π

É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.

Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, D) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:

1º PASSO: Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n ® n = 5
 

2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas.

[F] = F

[V] = L x T^-1

[ρ] = F x L^-4 x T²

[µ] = F x L^-2 x T

[D] = L

 

3º PASSO: Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K ® K = 3

4º PASSO: Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno - m ® m = n - K ® m = 2

W - função equivalente formada por números adimensionais.

W - (π₁ , π₂) = 0 – para o exemplo.

 

5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais.

Definição de base - É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.

Variáveis independentes - São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental.

Para o exemplo, temos:

• F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes.

•  ρ e µ como variáveis dependentes.

Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D.

Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta.

Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.
 

6º PASSO:  Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.

π₁ = ρ^a1 . V^a2 . D^a3 . F (I)

π₂ = ρ^γ1 . V^γ2 . D^γ3 . µ (II)

Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.

Para a equação (I), temos:

F⁰ L⁰ T⁰ = (F x L^-4 x T²)^a1 . (L x T^-1) ^a2 . L^a3 . F

F⁰ L⁰ T⁰ = F ^a1+1 . L^{-4 a1 + a2 + a3} . T^{2 a1 - a2}

a1+1 = 0 ® a1 = -1

2a1 - α2 = 0 ® -2 - a2 = 0 ® a2 = -2

-4 a1 + a2 + a3 = 0 ® 4 - 2 + a3 = 0 ® a3 = -2

Portanto: π₁ = ρ^-1 . V^-2 . D^-2 . F

Para a equação (II):

F⁰ L⁰ T⁰ = (F x L^-4 x T²)^γ1 . (L x T^-1) ^γ2 . L^γ3 . F x L^-2 x T

F⁰ L⁰ T⁰ = F ^γ1+1 . L^{-4 γ1 + γ2 + γ3 - 2} . T^{2 γ1 - γ2 + 1}

γ1+1 = 0 ® γ1 = -1

2γ1 - γ2 +1 = 0 ® -2 - γ2 + 1= 0 ® γ2 = -1

-4 γ1 + γ2 + γ3 - 2 = 0 ® 4 - 1 + γ3 - 2 = 0 ® γ3 = -1

Portanto: π₂ = ρ^-1 . V^-1 . D^-1 . µ

   

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